Musabbiha: LIMIT

1.Pengertian Limit

Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.

CONTOH :

Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x akhirnya akan mendekati 0.

ditulis : l i m     2 = 0
           x ® ¥ x

Hasil yang harus dihindari

0/0 ; ¥/¥ ; ¥-¥ ; 0,¥ (*) (bentuk tak tentu)

TEOREMA

1. Jika f(x) = c maka   l i m    f(x) = c
                                     x ® a
2. Jika l i m    f(x) = F   dan l i m    g(x) = G   maka berlaku
           x ® a                     x ® a
a. l i m   [f(x) ± g(x)] = l i m   f(x)   ±   l i m   g(x) = F ± G
    x ® a                       x ® a            x ® a

b. l i m   [f(x) • g(x)] = l i m   f(x) • l i m   g(x) = F • G
    x ® a                      x ® a         x ® a

c. l i m   k • f(x) = k l i m   f(x) = k • F
    x ® a                   x ® a

                              l i m     f(x)
d. l i m     f(x) = x ® a         = F
    x ® a g(x)     l i m     g(x)     G
                             x ® a

LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI

1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud.
    Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.

2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
    Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan     penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh     dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian     baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit     perhatikan hasil pembagian berikut :

0/a = 0 ; a/0 = ¥ ; ¥/a = ¥ ; a/¥ = 0 ; ¥ ± a = ¥    (a = konstanta)

2.Limit Fungsi Trigonometri

KETENTUAN

Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x
(x <<< kecil sekali ; » setara )

l i m    sin x = 1             l i m   tg x = 1
x ® 0     x                    x ® 0    x
l i m       x    = 1            l i m        x    = 1
x ® 0   sin  x                 x ® 0     tg x

PERLUASAN
l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0     bx                 x ® 0     bx

l i m       ax    = a/b       l i m      ax   = a/b
x ® 0   sin bx                 x ® 0 tg bx

l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   sin bx                 x ® 0 tg bx

l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   tg bx               x ® 0    sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x

HAL-HAL KHUSUS

l i m ax^m + bx^m-1 + .... = x ® ¥ pxⁿ + qx^n-1 + ...	¥ untuk m > n ; a/p untuk m =n ; 0 untuk m < n
l i m Öax² + bx + c - Ödx² + ex + f x ® ¥	¥ untuk a > d ; b-e untuk m =n ; 2Öa -¥ untuk a < d

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.

DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka

l i m    f(x)   = l i m    f(x)
x ® ¥ g(x)     x ® a   g(x)

CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. l i m   x² - 5x + 6 = (3)² - 5(3) + 6 = 0
    x ® 3

2. l i m    3x - 2   =  ¥   (*) Uraikan
    x ® ¥ 2x + 1       ¥

                 x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
                 x(2 - 1/x)    2 + 1/x   2 - 0    2

                 atau langsung gunakan hal khusus

3. l i m    x² - x - 1   =  ¥   (*) Uraikan
    x ® ¥ 10x + 9         ¥

                 x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
                 x(10 - 9/x)       10 + 9/x        10 + 0      10

                 atau langsung gunakan hal khusus

4. l i m    x² - 3x + 2   =  0   (*) Uraikan
    x ® 2 x² - 5x + 6       0

                 (x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
                 (x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

5. l i m    x³ - 3x² + 3x - 1   =  0   (*) Uraikan
    x ® 1      x² - 5x + 6           0

                      (x - 1)³ = (x - 1)² = (1 - 1)² = 0
                 (x - 1) (x - 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


6. l i m    Ö² + x - Ö2x   =  0   (*) Hilangkan tanda akar dengan
    x ® 2      x - 2            0         mengalikan bentuk sekawan

                      (x - 1)³ = (x - 1)² = (1 - 1)² = 0 = 0
                 (x - 1) (x - 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


7. l i m   (^3x - Ö9x² + 4x)  = ¥ - ¥  (*) Hilangkan tanda akar
    x ® ¥

     l i m   (^3x - Ö9x² + 4x )  = é ^3x - Ö9x² + 4x ù =  (*) Hilangkan tanda
    x ® ¥

ë ^3x - Ö9x² + 4x  û             akar
     l i m   (^9x² - (9x² + 4x)  = l i m            -4x                =
    x ® ¥    3x + Ö(9x² + 4x)      x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]

     l i m            -4             = -4 = -2
    x ® ¥    3 + 3Ö⁽¹ + 0)             6     3

                 atau langsung gunakan hal khusus

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m   sin 2x = 0 (*)
   x ® 0 tg 3x     0
              sin 2x = 3x    2 = 1 . 1 . 2 = 2
              2x     tg 3x 3             3    3
2. l i m   1 - cos 2x = 0
   x ® 0    sin 2x     0
               1 - (1 - 2 sin² 2x) =      2 sin² x   = sin x = tg x = 0
               2 sin x cos x        2 sin x cos       cos x
3. l i m   1 - cos x = 0
   x ® 0     3x²     0
               2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
            3 . 4 . (½x)     6 (½x)      (½x)      6             6
           atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
4. l i m   sin x - sin a = 0 (*)
   x ® 0     x - a        0
               2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
                           x - a                         ½ (x - a )
            cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a